Machinewiremesh.ru

Стройка, мебель и декор
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Бруски, доски и кирпичи

Бруски, доски и кирпичи

О применении законов сохранения в некоторых задачах динамики. 10-й класс

Для учеников выпускных классов начинается тяжёлая пора – окончание школы не за горами, а значит, и «двойные экзамены в одном флаконе» – выпускные и вступительные. С каждым годом «пропасть» между уровнем базовой, «школьной», физики и вузовской увеличивается. Реформа образования убила «между делом» и механику 9-го класса. А уровень вступительных задач остался по-прежнему высоким (это объективно, так и должно быть: законы, по которым конструируют самолёты, не могут упроститься по указу!). И с горечью об упущенном времени объясняешь одиннадцатиклассникам на переменке то, что ещё не забыл сам!

За редким исключением принципиально новых задач абитуриентам не предлагают. Одна, принесённая учениками после контрольного тестирования ведущего московского вуза, была «старой знакомой». Однако решение, указанное в сборнике МИФИ аж 1987 г. (Справочник для поступающих. – М.: МИФИ, 1987), показалось мне чуть затянутым. Кроме «мифической» задачи хочу также показать решение одной из задач письменного выпускного экзамена по физике, который несколько лет проводился в московской школе № 710 (сейчас гимназия № 710 им В.К.Жудова, РАО).

«Доска и брусок» (задача МИФИ).

На гладкой горизонтальной?поверхности лежит доска длиной l = 1,2 м и массой М = 1,6 кг. На край доски положили небольшое тело массой m = 0,4 кг. Коэффициент трения между телом и доской k = 0,3. С какой минимальной скоростью следует резко толкнуть доску вправо, чтобы тело соскользнуло с неё?

Задача «Брусок и доска».

На гладкой горизонтальной плоскости покоится доска массой М. На доске лежит тело массой m, которому толчком сообщают начальную скорость вдоль доски. Коэффициент трения между телом и доской равен k. На какое расстояние s сместится тело относительно доски? Считать, что тело, смещаясь, всё время остаётся в пределах доски.

По сути, это формулировка одной и той же задачи.

Решение задачи 1

Рассмотрим ситуацию в лабораторной системе отсчёта. При резком толчке брусок начнёт проскальзывать по доске, постепенно вовлекаясь в движение, поскольку между бруском и доской возникают силы трения: F (M) тр – сила, действующая на доску со стороны бруска, и F (m) тр – сила, действующая на брусок со стороны доски. Эти силы, согласно третьему закону Ньютона, равны по модулю и противоположны по направлению: F(M)тр = kmg и F(m)тр = kmg. Они сообщают «своим» телам разные ускорения: доска тормозит с ускорением a (M) = kgm/M, а брусок получает ускорение a (m) = kg. При этом относительное движение доски и бруска прекратится, когда их скорости сравняются.

Время, за которое произойдёт выравнивание скоростей, можно обозначить как />. За время />доска переместится на расстояние а брусок пройдёт в том же направлении, что и доска, расстояние Разность пройденных расстояний s и составит искомое перемещение бруска по доске, которое не должно быть меньше l:

s = s (M) – s (m) = a (M) 2 – a (m) 2 l.

Время можно найти из равенства конечных скоростей бруска (m) и доски (M) :

Подставляя в явном виде значения ускорений, получим следующее выражение:

(В этом месте мне хотелось бы остановиться самому и остановить внимание тех учеников, которые пошли бы решать задачу путём, предложенным МИФИ. В числителе дроби стоит количество движения (импульс, которым вначале обладала доска!), а в знаменателе – нечто, что имеет размерность силы. Очевидно, что, применив второй закон Ньютона в формулировке «Импульс силы, действующей на доску, равен изменению импульса доски», мы пришли бы к искомому времени на шаг быстрее:

Читайте так же:
Кирпич для сухих материалов

Конечная скорость доски с бруском получается, если использовать закон сохранения импульса в системе «Доска и брусок».)

Подставляя время относительного движения в выражение для s, получим выражение для искомой скорости:

Однако есть другой способ решения – с использованием законов сохранения.

Решение задачи 2

Рассмотрим ситуацию в лабораторной системе отсчёта. Система «Брусок и доска» в начале движения обладала количеством движения (импульсом) m />. Поскольку силы трения между доской и бруском суть силы внутренние, трение между плоскостью и доской отсутствует, а сила тяжести компенсируется силой нормальной реакции поверхности, то количество движения в системе сохраняется и тогда, когда брусок и доска будут двигаться вместе со скоростью u: m />= (M + m)u.

Вместе с тем механическая энергия в системе уменьшается за счёт действия силы трения. Убыль кинетической энергии равна работе силы трения:

Из полученного ответа видно, что он совпадает с предыдущим. Оба решения довольно очевидные, хотя мне кажется, тот, кто «увидел» второе решение, не станет решать первым способом. Однако методически правильно показать оба решения. Для закрепления такого подхода ещё одна задача.

«Кирпич и крыша».

Кирпич, лежащий на краю крыши дома, толкнули вверх вдоль ската со скоростью = 10 м/с. После упругого удара о конёк кирпич соскользнул обратно и остановился на краю крыши. Найдите коэффициент трения k, если конёк находится на высоте h = 2,5 м от края крыши, а угол наклона = 30°.

Решаем задачу в системе отсчёта «Земля». Вначале кирпич обладал кинетической энергией. За уровень отсчёта потенциальной энергии можно принять край крыши, тогда она изначально равна нулю. В конце своего пути кирпич уже не обладал никакой механической энергией. Упругий удар о конёк не изменяет механической энергии, поэтому её убыль связана с работой силы трения вдоль ската крыши. Модуль этой силы постоянен во время всего движения и вверх, и вниз: Fтр = kmgcos />. Длина ската равна l = h/sin />. В итоге получаем:

(при g = 9,81 м/с 2 получается k = 0,59, таким образом, коэффициент трения чуть больше тангенса угла наклонной плоскости, т.е. брусок может «физически» лежать на плоскости, не соскальзывая, что, правда, оговорено в условии).

Конечно, данную задачу можно решить, рассматривая движение вверх по скату крыши и вниз. Однако применение законов сохранения (импульса и энергии) позволяет в ряде задач динамики, и это видно на приведённых примерах, сэкономить усилия и время, избежав промежуточных выкладок.

Подготовка к олимпиадам: плотность, 7 класс.

В статье дана подборка задач по теме “Плотность”, которые вы можете встретить на олимпиадах уровня региональной. Здесь задачки потруднее, если что-нибудь будет непонятно – спрашивайте.

Задача 1. При изготовлении кирпича мастера допустили брак, и внутри кирпича образовалась полость. Во сколько раз объем кирпича больше объема внутренней полости, если средняя плотность бракованного кирпича в 1,5 раза меньше нормального? Ответ округлить до целых. Снаружи бракованный кирпич выглядит как нормальный.

Масса кирпича будет равна объему материала кирпича, умноженному на плотность этого материала:

\[m=\rho\cdot V\]

Также можно найти массу кирпича, зная его среднюю плотность:

\[m=\rho_{sr}\cdotV_p=\rho_{sr}\cdot(V+V_0)\]

Где V_p– полный объем, V_0– объем полости.

Приравняем обе массы:

\[\rho\cdot V=\rho_{sr}\cdot(V+V_0)\]

\[\rho\cdot V=\frac{\rho}{1,5}\cdot(V+V_0)\]

\[V-\frac{2}{3} V=\frac{ V_0}{1,5}\]

\[2V_0=V\]

То есть объем полости вдвое меньше объема материала, иными словами,

\[V_0=\frac{1}{3}V_p\]

\[\frac{ V_p }{ V_0}=3\]

Задача 2. При изготовлении кирпича мастера замесили 3 массы сухой смеси плотностью 1500 кг/м ^3и 2 массы воды плотностью 1000 кг/м^3. Какой плотности получился кирпич? Ответ дать в кг/м^3, округлив до целых.

Читайте так же:
Норма складирования для кирпича

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

\[\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{3m+2m}{V_1+V_2}=\frac{5m}{\frac{3m}{\rho_1}+\frac{2m}{\rho_2}}=\frac{5m\cdot1500}{6m}=1250\]

Ответ: 1250 кг/м^3.

Задача 3. При изготовлении кирпича мастера замесили 2 объема сухой смеси плотностью 1500 кг/м ^3и 3 объёма воды плотностью 1000 кг/м^3. Какой плотности получился кирпич? Ответ дать в кг/м^3, округлив до целых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем:

\[\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{2V\rho_1+3V\rho_2}{2V+3V}=\frac{2\cdot1500+3\cdot1000}{5}=\frac{6000}{5}=1200\]

Ответ: 1200 кг/м^3.

Задача 4. Однородная деталь из сплава с плотностью 2000 кг/м ^3имеет массу m_1=32кг. А её точная копия, но в 2 раза меньших размеров, сделанная из сплава с плотностью 4000 кг/м^3, оказалась массой m_2=7кг. Есть подозрение, что внутри копии существует скрытая полость. Какой у неё объём? Ответ дать в см^3.

Объем детали можно определить:

\[V_d=\frac{m}{\rho_d}\]

Коэффициент подобия равен 2, поэтому объем копии меньше в 2^3=8раз:

\[V_k=\frac{m}{8\rho_d}\]

Масса копии тогда должна быть:

\[m_k=V_k\cdot \rho_k=\frac{m\rho_k}{8\rho_d}=\frac{32\cdot4000}{8\cdot2000}=8\]

Но масса копии меньше ровно на 1 кг. Следовательно, вместо этого 1 кг материала это место заняла полость. Если найдем объем 1 кг материала копии, то найдем объем полости:

\[V_1=V_0=\frac{1}{\rho_2}=\frac{1}{4000}=0,00025\]

Мы получили ответ в метрах кубических. В сантиметрах это будет в 10^6раз больше, то есть 250 см^3.

Ответ: 250 см^3.

Задача 5. Средняя плотность каши с маслом в 2 раза больше, чем масла и в три раза меньше, чем просто каши. Чему равно отношение массы каши к массе масла? Ответ округлите до десятых.

Средняя плотность – это вся масса, деленная на весь объем. Запишем среднюю плотность каши с маслом:

\[\rho_{sr}=\frac{m}{V}=\frac{m_k+m_m}{V_k+V_m}=\frac{ m_k+m_m }{\frac{m_k}{\rho_k}+\frac{m_m}{\rho_m}}\]

Тогда сумма масс каши и масла равна:

\[m_k+m_m=\left(\frac{m_k}{\rho_k}+\frac{m_m}{\rho_m}\right)\rho_{sr}=\frac{m_k}{\rho_k}\rho_{sr}+\frac{m_m}{\rho_m}\rho_{sr}\]

Тогда, перенося в разные стороны слагаемые, содержащие массы каши и масла, получим:

Районно-городской этап 39-й Всероссийской олимпиады школьников по физике

Кирпичная конструкция, составленная из шести кирпичей, покоится на земле (рис.4). Определите отношение давлений Р 1 и Р 2 , которые оказывают нижний левый и нижний правый кирпичи на землю. Кирпич представляет собой параллелепипед, стороны которого относятся как 1 : 2 : 4.

Ответ: Искомое отношение давлений Р 1 / Р 2 = 0,7

Задача 2. 8 класс. 2004-2005 г.

Региональный этап 39-й Всероссийской

олимпиады школьников по физике

В полдень из деревни в город выехал автомобиль. Он ехал с постоянной скоростью и прибыл бы в город в час дня, но в дороге двигатель заглох, и водитель потратил на ремонт треть времени, ушедшего на дорогу от деревни до места поломки. Чтобы прибыть в город по расписанию, водителю пришлось на оставшемся участке пути ехать со скоростью в два раза большей запланированной. Какое время показывали часы в тот момент, когда заглох двигатель?

Ответ: Часы в момент поломки показывали время 12 часов 36 минут.

Задача 3. 9 класс. 2004-2005 г.

Заключительный этап 39-й Всероссийской

олимпиады школьников по физике

Поезд метро проходит расстояние s между станциями, разгоняясь с ускорением a до середины перегона и тормозя с таким же по модулю ускорением на второй половине пути. В какой момент времени τ от начала движения средняя скорость поезда v на пройденном участке пути максимальна? Найдите максимальное значение v max этой скорости и расстояние L от начала пути, на котором она достигается.

Задача 4. 9 класс 2005-2006 г.

Районно-городской этап 40 — й Всероссийской

олимпиады школьников по физике

Кирпич – это параллелепипед, длины ребер которого относятся как 1:2:4. Шершавый кирпич положили длинной узкой гранью на дно аквариума прямоугольной формы, площадь дна которого в два раза больше площади той грани кирпича, на которую его положили. В аквариум налили такое количество воды, что верхняя грань кирпича оказалась как раз на ее поверхности, и измерили вес кирпича. После этого, не меняя количества воды в аквариуме, кирпич поставили на узкую и короткую грань, в результате чего вес кирпича увеличился в n = 1,5 раза по сравнению с первым случаем. Чему равна плотность материала, из которого сделан кирпич?

Читайте так же:
100 мм минваты это сколько кирпича

Ответ: плотность материала, из которого сделан кирпич ρ к = ( 7/3 ) ρ в , где ρ в — плотность воды.

Задача 5. 9 класс 2005-2006 г.

Региональный этап 40 — й Всероссийской

олимпиады школьников по физике. Теоретический тур.

Два одинаковых кирпича положили на дно аквариума так, как показано на рис.1. После этого в аквариум стали наливать воду . Зависимость силы давления кирпичей на дно аквариума F от высоты слоя налитой воды h представлена на рис.2. Определить длины ребер а, b, и с кирпичей и плотность ρ материала, из которого сделаны кирпичи.

32. Энергия — В.И. Лукашик, Сборник задач по физике

Пусть тело массой m1, поднято на высоту h1 а тело массой m2 поднято на высоту h2. Равенство их потенциальных энергий означает, что m1gh1 = m2gh2 или m1h1= m2h2.

804. На столе лежат мраморный и свинцовый бруски одинакового объема. Какое из этих тел обладает большей потенциальной энергией относительно пола?

Свинцовый, поскольку его плотность и, соответственно, масса больше.

805. Оставив самолет, парашютист некоторое время движется с возрастающей скоростью, а затем — с постоянной. Равную ли механическую работу производит сила тяжести за одинаковые промежутки времени при таком движении парашютиста? Ответ объясните.

Да, т.к. работа силы тяжести пропорциональна расстоянию, а парашютист за равные отрезки времени проходит равные расстояния.

806. Одинаковой массы кирпичи лежали на полу плашмя. Их подняли и расположили на столе так, как показано на рисунке 240. Какой из кирпичей 1—3 приобрел наибольшую потенциальную энергию относительно поверхности пола; какой — наименьшую? Какой из кирпичей 4—6 обладает наибольшей потенциальной энергией относительно поверхности стола и в каком случае она может проявиться?

Кирпич 1 обладает наибольшей потенциальной энергией, так как его центр тяжести находится на наибольшей высоте; кирпич 3 обладает наименьшей потенциальной энергией, так как его центр тяжести находится на наименьшей высоте. Кирпич 6 обладает наибольшей потенциальной энергией, и это может проявиться, если он упадет.

807. Сначала кирпич занимал горизонтальное положение (рис. 241). Затем его поставили вертикально. Изменилась ли при этом потенциальная энергия кирпича относительно пола?

Потенциальная энергия кирпича увеличилась, так как увеличилась высота его центра тяжести.

808. Почему в походе опытный турист предпочитает перешагнуть через упавшее дерево, вместо того чтобы сначала наступить на него, а затем спрыгнуть?

Наступая на дерево, турист совершает лишнюю работу по поднятию своего тела. Поэтому он так не делает.

809. На сколько увеличилась потенциальная энергия мальчика массой 48 кг, который поднялся по лестнице своего дома на высоту 10 м?

32. Энергия

810. Семиклассница ростом 162 см подняла свой учебник физики массой 315 г на высоту 1,94 м над полом. Чему равна потенциальная энергия книги относительно пола; относительно макушки девочки?

32. Энергия

811. Дверь с пружиной закрывается автоматически. За счет какой энергии производится работа при открывании дверей?

Читайте так же:
Печь чародейка огнеупорный кирпич

За счет энергии человека, открывающего дверь.

812. Как меняется потенциальная энергия воздуха в футбольном мяче при ударе по мячу ногой?

Воздух сжимается, и его потенциальная энергия увеличивается. Через малый промежуток времени мяч возвращается в первоначальное положение, и его потенциальная энергия уменьшается до первоначальной.

813. Груз массой 2,0 кг, положенный на легкую чашку пружинных бытовых весов, сжимает пружину на 10 мм. Чему равна потенциальная энергия сжатой пружины?

32. Энергия

814. Какая работа производится при сжатии рессор железнодорожного вагона на 3 см, если для сжатия рессор на 1 см требуется сила 98 кН?

32. Энергия

815. Груз растягивает пружину динамометра на 1 см. Во сколько раз увеличится потенциальная энергия пружины, если массу груза утроить?

32. Энергия

816. Начертите график зависимости удлинения пружины от действующей на нее силы, если жесткость пружины равна 1,5 Н/см. По графику определите модуль силы и работу, необходимую для растяжения пружины на 8,5 см.

32. Энергия

817. На сколько процентов изменится потенциальная энергия пружины динамометра, если массу груза, подвешенного к пружине, уменьшить в 2 раза?

32. Энергия

818. Могут ли два тела, имеющие неодинаковые массы, обладать одинаковой кинетической энергией? Если да, то при каком условии?

32. Энергия

819. Одинакова ли кинетическая энергия грузов, которые везут мальчики, изображенные на рисунке 196?

Скорее всего нет.

820. С какой скоростью должен бежать человек массой 80 кг, чтобы его кинетическая энергия была равна кинетической энергии пули массой 9 г, летящей со скоростью 600 м/с? Будет ли при этом импульс человека равен импульсу пули?

32. Энергия

821. Какую работу надо совершить, чтобы скорость поезда массой 800 т увеличилась от 36 до 54 м/с?

32. Энергия

822. Ударившийся о землю мяч подпрыгивает несколько раз. Почему при каждом последующем прыжке он подскакивает на меньшую высоту?

При каждом ударе о Землю часть энергии шарика теряется. У него остается все меньше энергии для совершения работы против силы тяжести.

823. По краям гоночных мототрасс в местах очень крутых поворотов укладывают пенопластовые плиты. Объясните назначение и действие этих плит.

В случае аварии или вылета автомобиля с трассы он ударяется в эти плиты, и они «забирают» у автомобиля часть его кинетической энергии. Деформация автомобиля, таким образом, уменьшается.

824. При перемещении тележки нить наматывается на ось и груз поднимается (рис. 242). Какие превращения энергии при этом происходят?

Кинетическая энергия телеги превращается в потенциальную энергию груза.

825. Груз (см. предыдущую задачу, рис. 242) находится вверху. Что произойдет, если тележку отпустить? Какие превращения энергии произойдут теперь?

Груз будет опускаться, его потенциальная энергия будет превращаться в кинетическую энергию телеги. Она поедет.

826. На соревнованиях по прыжкам в воду спортсмен сначала прыгает на доску-трамплин, а затем вверх. Почему при этом прыжок получается более высоким?

Спортсмен, прыгая на доску, сообщает ей потенциальную энергию. Она при распрямлении доски помогает спортсмену прыгнуть выше, превращаясь в кинетическую энергию.

827. Какое значение имеют волноломы (сооружения в виде мола), устанавливаемые у морских берегов? Энергия какого тела является причиной разрушения берега? Что является источником энергии этого тела?

Волноломы служат для разрушения волн и взятия части их кинетической энергии на себя. Волны за счет своей энергии разрушают берега. Источником энергии волн является ветер, а источником энергии ветра — солнечное излучение или вращение Земли.

Читайте так же:
Кирпич после неудачной прошивки lenovo a328 что делать

828. В какой точке траектории движения искусственного спутника (см. рис. 26) потенциальная энергия его относительно Земли наибольшая; наименьшая? Что можно сказать о кинетической энергии спутника в этих точках?

В точке А спутник обладает наибольшей потенциальной и наименьшей кинетической энергиями. В точке В — наоборот.

829. С какой целью хрупкие вещи перед перевозкой упаковывают в солому или вату?

Хрупкие вещи упаковывают в вату или солому для уменьшения их кинетической энергии в случаях резкого удара. В этом случае часть их кинетической энергии уходит на деформацию ваты и удар смягчается.

830. Двигаясь по сыпучему песку или рыхлому снегу, мы затрачиваем больше энергии, чем при движении по твердой дороге. Объясните почему.

В этом случае мы тратим дополнительную энергию на «выдергивание» ног из рыхлого фунта, т.е. совершаем дополнительную работу против сил трения.

831. Мальчик подсчитал, что на некотором участке пути потенциальная энергия свободно падающего мяча массой 50 г изменилась на 2 Дж. Какой длины путь имел в виду мальчик? Как и на сколько изменилась при этом кинетическая энергия мяча?

32. Энергия

832. Камень массой 0,5 кг, соскользнув по наклонной плоскости с высоты 3 м, у основания приобрел скорость 6 м/с. Определите работу силы трения.

32. Энергия

833. Подъем груза массой 20 кг осуществляется под действием постоянной силы, равной 400 Н и направленной вертикально вверх. Какой потенциальной энергией будет обладать груз на высоте 15 м? Какую работу совершит данная сила? Чему равна кинетическая энергия груза на этой высоте?

32. Энергия

834. Тормозной путь для транспортных машин зависит от скорости перед началом торможения. Докажите, что при прочих равных условиях тормозной путь прямо пропорционален квадрату скорости.

32. Энергия

835. В конце спуска с горы сани массой 80 кг обладали кинетической энергией 1 кДж. Какое максимальное расстояние пройдут сани по льду замерзшего пруда, двигаясь равнозамедленно, если коэффициент трения полозьев саней о лед равен 0,02?

32. Энергия

836. Определите кинетическую энергию и скорость шарика массой 5 г в момент вылета из ствола пружинного игрушечного пистолета, если жесткость пружины равна 200 Н/м, а до выстрела она была сжата на 5 см. (Трением можно пренебречь.)

32. Энергия

837. Цирковой артист весом 600 Н прыгает на растянутую сетку с высоты 10 м от нее. С какой средней силой он давит на сетку, если она прогибается на 1 м?

32. Энергия

838. Гиря, покоящаяся на верхнем конце спиральной пружины, укрепленной на подставке, сжимает ее на х1 = 2 мм. Но та же гиря, упавшая с некоторой высоты h на конец пружины, сжимает ее на х2=2 см. Определите высоту h.

32. Энергия

839. Тело массой 2 кг соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в «мертвую петлю» радиусом 1 м (рис. 243). Какой потенциальной энергией должно обладать тело в начальный момент, чтобы описать полную петлю? С какой высоты h0 оно должно соскальзывать? (Трение считайте ничтожно малым.)

32. Энергия

840. Мяч массой 200 г бросили вертикально вверх с высоты 1,5 м над поверхностью Земли с такой скоростью, что кинетическая энергия мяча превосходила его потенциальную энергию в 4 раза. Не учитывая трение, определите механическую энергию и скорость мяча в конце полета. Изменятся ли результаты вычислений, если бросок будет произведен в горизонтальном направлении?

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector